Линейные множители что это
Математика
Далее, усложняя дело, составим многочлен из трех членов: в одном буква x пусть входит во второй степени, в другом – в первой, а третий член вовсе этой буквы не содержит, напр.:
3x² – 5x + 7 или x² + 2x – 1
или 5y² + 7y + 8 или z² – 5z – 2 и т. д.
Затем, мы можем составить кубический четырехчлен, напр.:
x³ + 2x² – x + 1 или 3x³ – 5x² – 2x – 3 и т. д.,
многочлен четвертой степени, напр.:
x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5 и т. д.
1) общий вид линейного относительно x двучлена ax + b,
2) общий вид квадратного трехчлена (относительно x ): ax² + bx + c,
3) общий вид кубического трехчлена (относительно x ): ax³ + bx² + cx + d и т. д.
Заменяя в этих формулах буквы a, b, c, d … различными числами, получим всевозможные линейные двучлены, квадратные трехчлены и т. д. Напр., в формуле ax² + bx + c, выражающей общий вид квадратного трехчлена, заменим букву a числом +3, букву b числом –2 и букву c числом –1, получим квадратный трехчлен 3x² – 2x – 1. В частном случае возможно получить и двучлен, заменяя одну из букв нулем, напр., если a = +1, b = 0 и c = –3, то получим квадратный двучлен x² – 3.
Можно научиться раскладывать некоторые квадратные трехчлены довольно быстро на линейные множители. Ограничимся, однако, рассмотрением только таких квадратных трехчленов, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) коэффициентом при старшем члене (при x²) служит +1,
2) можно подыскать такие два целых числа (со знаками, или два относительных целых числа), чтобы их сумма равнялась коэффициенту при x в первой степени и их произведение равнялось члену, свободному от x (где буквы x вовсе нет).
Примеры. 1. x² + 5x + 6; легко в уме подыскать два числа (со знаками), чтобы их сумма равнялась +5 (коэффициенту при x ) и чтобы их произведение = +6 (члену, свободному от x), – эти числа суть: +2 и +3 [в самом деле, +2 + 3 = +5 и (+2) ∙ (+3) = +6]. При помощи этих двух чисел заменим член +5x двумя членами, а именно: +2x + 3x (конечно, +2x + 3x = +5x); тогда наш техчлен искусственно будет обращен в четырехчлен x² + 2x + 3x + 6. Применим теперь к нему прием группировки, относя первые два члена в одну группу и последние два – в другую:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
В первой группе мы вынесли за скобку x и во второй +3, получили два члена, у которых оказался общий множитель (x + 2), который также вынесли за скобку, и наш трехчлен x² + 5x + 6 разложился на 2 линейных множителя: x + 2 и x + 3.
2. x² – x – 12. Здесь надо подыскать два числа (относительных), чтобы их сумма равнялась –1 и чтобы их произведение равнялось –12. Такие числа суть: –4 и +3.
Проверка: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. При помощи этих чисел заменим член –x двумя членами: –x = –4x + 3x, – получим:
x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).
3. x² – 7x + 6; здесь нужные числа суть: –6 и –1. [Проверка: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].
x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).
Здесь члены второй группы –x + 6 пришлось заключить в скобки, со знаком минус перед ними.
4. x² + 8x – 48. Здесь нужно подыскать два числа, чтобы их сумма равнялась +8 и чтобы их произведение равнялось –48. Так как произведение должно иметь знак минус, то искомые числа должны быть с разными знаками, так как сумма наших чисел имеет знак +, то абсолютная величина положительного числа должна быть больше. Раскладывая арифметическое число 48 на два множителя (а это можно сделать по-разному), получим: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Из этих разложений легко выбрать подходящее к нашим требованиям, а именно: 48 = 4 ∙ 12. Тогда наши числа суть: +12 и –4. Дальнейшее просто:
x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).
5. x² + 7x – 12. Здесь надо найти 2 числа, чтобы их сумма равнялась +7 и произведение = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. По-видимому, подходящими числами являлись бы 3 и 4, но их надо взять с разными знаками, чтобы их произведение равнялось –12, а тогда их сумма ни в коем случае не может равняться +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Другие разложения на множители также не дают требуемых чисел; поэтому мы приходим к заключению, что данных квадратных трехчлен мы еще не умеем разложить на линейные множители, так как к нему наш прием не применим (он не удовлетворяет второму из условий, какие были установлены вначале).
Разложение многочлена на множители
Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.
Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.
Теория
Замечание
Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.
Основная теорема алгебры
Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.
Теорема Безу
Следствие из теоремы Безу
Разложение на множители квадратного трехчлена
Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.
Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.
Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:
После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.
Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что
Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.
Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что
Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.
Получив корни, запишем
Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.
Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.
Вынесение общего множителя за скобки
Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями
Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.
Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.
Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.
4 f ( x ) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g ( y )
Когда получившаяся функция вида g ( y ) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:
Перейдем к вычислению функции g ( y ) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 ( 2 x 2 + 14 x + 6 ) = = 2 x + 5 2 ( x 2 + 7 x + 3 )
Отсюда следует, что
Искусственные приемы при разложении многочлена на множители
Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.
Способ группировки
Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.
Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.
Необходимо провести группировку:
После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что
Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.
Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что
После разложения на множители получим, что
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители
Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.
Необходимо выполнить преобразование выражения к виду
После применения разности квадратов, получим
Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида
Займемся преобразованием выражения. Получаем, что
Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:
Способ замены переменной при разложении многочлена на множители
При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:
То есть получили искомое разложение.
Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.