Логарифм без основания что значит

Логарифм. Как вычислить логарифм?

Логарифмом положительного числа \(c\) по основанию \(a\) \((a>0, a\neq1)\) называется показатель степени \(b\), в которую надо возвести основание \(a\), чтобы получить число \(c\) \((c>0)\), т.е.

Объясним проще. Например, \(\log_<2><8>\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_<2><8>=3\).

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Как вычислить логарифм?

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt<5>\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt<7>\), чтобы получить \(\sqrt<7>\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
\(\log_=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^=c\)

Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^\cdot a^=a^\) и \((a^)^=a^\)

Основания равны, переходим к равенству показателей

Умножим обе части уравнения на \(\frac<2><5>\)

Получившийся корень и есть значение логарифма

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).

А теперь решите уравнение: \(3^=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_<3><8>\).

\(4^<5x-4>\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:
\(a^=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_=b\)

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

Поделим уравнение на 5

Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg\).

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

Пример: Найдите значение выражения \(36^<\log_<6><5>>\)

Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_<2><4>\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_<2><4>\).

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_<2><8>\), или как \(\log_<3><27>\), или как \(\log_<4><64>\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

Источник

Логарифмы и их свойства

Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.

Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_<2>(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

Или логарифм шести по основанию 4:

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_<4>(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:

Значит \(log_<4>(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:

Как посчитать логарифм

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_<3>(9)\)

Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac<1><125>\) по основанию \(5\): \(log_<5>(\frac<1><125>)\)

Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_<64>(4)\)

Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_<8>(1)\)

Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_<5>(15)\)

Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.

\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.

Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

Натуральный логарифм

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

Пример 9. Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

Пример 10. Формула \(5,6\). Свойства степени.

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

Пример 11. Формулы \(7,8\). Переход к другому основанию.

Источник

Что такое логарифм. Как посчитать логарифм. Свойства логарифмов. Примеры решения логарифмов

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитгде a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значити преобразовываем вЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитА в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЕще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЧтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

И вычислить его можно таким образом:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

loga a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитСначала преобразуем логарифм

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитВернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитТеперь применим основное логарифмическое тождество и получим:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЛогарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитМы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Переход к новому основанию

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитКогда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитПодставим полученные результаты в исходное выражение:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит2. Найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит3. Найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит4. Найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит5. Найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит6. Найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитСначала найдем значениеЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитДля этого приравняем его к Х:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитТогда изначальное выражение принимает вид:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит7. Найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитПреобразуем наше выражение:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитТеперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит8. Найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит9. Найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитПодставляем полученные значения в исходное выражение:

10. Найти значение выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Источник

Логарифмы

Определение логарифма

Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества

Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является основным логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:

Логарифмом называют показатель степени n, при возведении в которую числа а получают число b.

Показательное уравнение a^n=b при a > 0, a ne 1 не имеет решений при неположительном b и имеет единственный корень при положительном b. Этот корень называется логарифмом числа b по основанию а и записывают:

Основное логарифмическое тождество

4 log2 7 =2 2 log2 7 = (2 log2 7 ) 2 = 7 2 = 49

2 1 + log2 7 = 2 · 2 log2 7 = 2 · 7 = 14

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитгде a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значити преобразовываем в Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значити преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитА в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЕще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Два очевидных следствия определения логарифма

log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.

Логарифм. Свойства логарифма (корень логарифма, смена основания).

Корень логарифма из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня/Логарифм. Свойства логарифма (корень логарифма, смена основания).

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.

Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

следует применять формулу

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

поскольку в противном случае можно потерять корни.

По той же причине при преобразовании выражений

loga ( f (x) g (x)) и Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

следует использовать формулы:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Виды логарифмов

loga b – логарифм числа b по основанию a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0)

lg b – десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитЛогарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитМы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Переход к новому основанию

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитКогда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияЛогарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитПодставим полученные результаты в исходное выражение:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например,

lg ( x y ) = lg x + lg y ( x > 0, y > 0 )

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e – иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам:

log a b = lg b lg a = ln b ln a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0 )

Вычисление логарифма равносильно решению показательного уравнения

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

Найти логарифм: log 4 8

Обозначим log4 8 через x :

Перейдем к показательному уравнению:

Сведем показательное уравнение к основе 2 и решим его:

Найти x если : log x 125 = 3 2

За определением логарифма имеем:

x = (5 3 ) 2/3 = 5 3·2/3 = 5 2 = 25

Формулировки и доказательства свойств

Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log5(2·3)=log52+log53 и Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит.

Приведем пример использования этого свойства логарифма: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит.

Вот пример использования этого свойства: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит.

Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значити Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит.

Также часто используется формула Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит, которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит. Имеем Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит. Для доказательства формулы Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитдостаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит.

Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит2. Найти значение выражения Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит3. Найти значение выражения Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит3. Найти значение выражения 4. Найти значение выражения Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит5. Найти значение выражения Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит5. Найти значение выражения 6. Найти значение выражения Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитСначала найдем значение Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитСначала найдем значение Для этого приравняем его к Х:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитТогда изначальное выражение принимает вид:

Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит7. Найти значение выражения Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит7. Найти значение выражения Преобразуем наше выражение: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитТеперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит8. Найти значение выражения Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит8. Найти значение выражения Так как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит9. Найти значение выражения Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значит9. Найти значение выражения Так как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитПодставляем полученные значения в исходное выражение:

10. Найти значение выражения Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4: Логарифм без основания что значит. Смотреть фото Логарифм без основания что значит. Смотреть картинку Логарифм без основания что значит. Картинка про Логарифм без основания что значит. Фото Логарифм без основания что значитОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *