К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” это матСматичСская функция, основанная Π½Π° свойствах возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° матСматичСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ константу, которая Π² коррСляции со всСми матСматичСскими константами ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ влияниС Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° числа. Π’ мСстС с Ρ‚Π΅ΠΌ, этот Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ трансформации ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π² пСрСсчСтС Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π‘ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ взгляда это слоТно ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ Ссли ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ коэффициСнт Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‚ΠΎ получится свойство Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΊ школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классов, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для учащихся Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° ΠΈΠ· свойствах, ставит Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΡŽ ΠΈΡ… Π²ΠΈΠ΄Ρ‹. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² соотносятся ΠΊ самим Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ нСобходимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… самих.

Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Для опрСдСлСния основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ сначала ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ ΠΈ, исходя ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ², ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ основаниСм Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a Π² стСпСни x Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ b, Ρ‚.Π΅. Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ x Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ возвСсти основаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° a, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ b.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²:

Π’ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΡŒ слоТныС ΠΈ простыС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всякий тоТдСствСнный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ находится Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ Π΅Π³ΠΎ основания, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ….

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, основаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ равСнству ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ рассмотрСнии равСнства, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ случаСв, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ пСрСностися с Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части равСнства Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ.

log 2 8 = 3 (Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ 8 ΠΏΠΎ основанию 2 ), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 2 3 = 8

log 7 49 = 2 (Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ 49 ΠΏΠΎ основанию 7 ), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 7 2 = 49

ДСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ДСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 10.

ДСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ равСнство стСпСнСй, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… различия. НаиболСС Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ это Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π½Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² качСствС констант a ΠΈ b.

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ дСсятичного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° являСтся Π΅Π³ΠΎ сходство с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ дСсятичных Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²:

lg 100 = 2 β€” дСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ обозначаСтся ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ (lg), это дСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ста;

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π΅Π³ΠΎ основа Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ схоТСй с дСсятичным Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вмСсто числа 10 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ постоянная константа e.

Π•Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ нСравСнство ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Но стоит Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ основаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΊ прямой константС ΠΈΠ·-Π·Π° большой разности ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° подсчСта Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

ИмСнно это свойство Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² позволяСт Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Π΅ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² вычислСния.

ΠΠ΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² вычислСния основываСтся Π½Π° Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ коррСляции остаточного Ρ‡Π»Π΅Π½Π° логарифмичСского равСнства.

Наряду с этим ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· свойств являСтся ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Всё это позволяСт ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ благодаря Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ, Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ, вычислСния становятся простыми Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… нСравСнств.

ОсновноС логарифмичСскоС тоТдСство

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹

ВычислСния Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² балистикС ΠΏΡ€ΠΈ расчСтС Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ двиТСния ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, находящСгося Π² нСпосрСдствСнной близости ΠΎΡ‚ Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ обусловлСно Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ускорСниСм свободного падСния, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 9,81. А ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ повСрности Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ измСняСтся, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ удалСния ΠΎΡ‚ повСрхности.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ основанию

ЛогарифмичСская Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°. Если Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈ основаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ основанию

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… чисСл, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… сумму 2-Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ основания.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ частного

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ частного. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ чисСл ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ основаниСм.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ стСпСни ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ стСпСни ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ показатСля стСпСни Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ этого числа.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ корня числа

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ корня Ρ€Π°Π²Π΅Π½ частному ΠΎΡ‚ дСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ корня.

ОснованиС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π² стСпСни

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию

log a x = log b x log b a

log a x = 1 log x a

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ основанию Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ подлогарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ основания.

ΠŸΡ€ΠΈ расчётС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ нарастаСт Π΅Π³ΠΎ гипСрболичСская ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ условиС ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. Π’ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя, нСльзя ΡƒΠΏΡƒΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ второстСпСнныС ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ расчётС. К Π½ΠΈΠΌ относятся расчСты с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ суммы Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π²ΡƒΡ… вычисляСмых Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ расчСтС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ дСсятичного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ x ΠΏΠΎ основанию a.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ измСнСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 10. ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию e, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2.72.

Π’Π°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ дСсятичного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° имСю Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, функция ln x

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· опрСдСлСния, основаниСм Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° являСтся число Π΅:
Π΅ β‰… 2,718281828459045. ;
.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ln x

ΠŸΡ€ΠΈ x β†’ 0 ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° являСтся минус Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ( – ∞ ).

ΠŸΡ€ΠΈ x β†’ + ∞ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° являСтся плюс Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ( + ∞ ). ΠŸΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… x Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ возрастаСт довольно ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ стСпСнная функция x a с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ стСпСни a растСт быстрСС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

Бвойства Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния, мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, экстрСмумы, возрастаниС, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ являСтся ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, поэтому экстрСмумов Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° прСдставлСны Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅.

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния0
ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ значСний– ∞
ΠœΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ возрастаСт
Нули, y = 0x = 1
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с осью ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, x = 0Π½Π΅Ρ‚
+ ∞
– ∞

ЗначСния ln x

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· опрСдСлСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ОсновноС свойство Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π³ΠΎ слСдствия

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ основания

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ основания:

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» прСдставлСны Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ «Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ».

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ функция

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ для Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° являСтся экспонСнта.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ln x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°:
.
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΎΡ‚ модуля x :
.
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ n-Π³ΠΎ порядка:
.
Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» > > >

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»

ВыраТСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· комплСксныС числа

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ функция ΠΎΡ‚ комплСксного ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, являСтся Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² стСпСнной ряд

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

Использованная Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°:
И.Н. Π‘Ρ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½, К.А. БСмСндяСв, Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ учащихся Π²Ρ‚ΡƒΠ·ΠΎΠ², Β«Π›Π°Π½ΡŒΒ», 2009.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ.

Π—Π° основаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ Π±Π΅Ρ€ΡƒΡ‚ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρƒ Π΅ = 2,718281828. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ основанию ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ вычислСний с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ общСпринято ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ln, Π° Π½Π΅ log; ΠΏΡ€ΠΈ этом число 2,718281828, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ основаниС, Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚.

Π‘Π°ΠΌΠΎ число Π΅ опрСдСляСт ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Π’Π΅ΡΡŒΠΌΠ° часто для фиксации Π² памяти ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ числа, Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ с ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π²Ρ‹Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π΄Π°Ρ‚ΠΎΠΉ. Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ запоминания ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… дСвяти Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² числа Π΅ послС запятой возрастСт, Ссли Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1828 β€” это Π³ΠΎΠ΄ роТдСния Π›ΡŒΠ²Π° Волстого!

На сСгодняшний дСнь ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ достаточно ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° (Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = ln x) являСтся слСдствиСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° экспонСнты Π·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой Ρƒ = Ρ… ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вСщСствСнного числа a ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = 1/x ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ a.

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ, которая состыковываСтся со ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… задСйствован Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, явилось ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ образования названия Β«Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉΒ».

Если Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° выступаСт ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сводится ΠΊ тоТдСствам:

По Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ со всСми Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ, Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² слоТСниС, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅:

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ основания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для e, Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… оснований ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ постоянным ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, ΠΈ, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

ΠŸΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π² Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ сущСствуСт ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… значСниях ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x. Он ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ возрастаСт Π½Π° своСй области опрСдСлСния.

ΠŸΡ€ΠΈ x β†’0 ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° выступаСт минус Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ( β€“βˆž ).ΠŸΡ€ΠΈ x β†’ +∞ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° выступаСт плюс Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ( + ∞ ). ΠŸΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… x Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ возрастаСт довольно ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ стСпСнная функция x a с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ стСпСни a возрастаСт быстрСС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ являСтся ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, поэтому экстрСмумы Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚.

ИспользованиС Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² вСсьма Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊ, использованиС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ для нахоТдСния ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… нСизвСстныС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π² качСствС показатСля стСпСни. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² расчСтах Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ изрядно ΠΎΠ±Π»Π΅Π³Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ большоС количСство матСматичСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎ основанию Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈ СстСствСнным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ входят Π² матСматичСскоС описаниС ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… химичСских, биологичСских ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ… процСссов. Π’Π°ΠΊ, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ для расчСта постоянной распада для извСстного ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° полураспада, ΠΈΠ»ΠΈ для вычислСния Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ распада Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ радиоактивности. Они Π²Ρ‹ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‚ Π² Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ практичСских Π½Π°ΡƒΠΊ, ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π°ΡŽΡ‚ Π² сфСрС финансов для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ большого числа Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ Π² расчСтС слоТных ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ основного логарифмичСсгого тоТдСства

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ основного логарифмичСскоС тоТдСства состоят Π² тСсной зависимости, Ρ‚.ΠΊ. ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π² матСматичСской записи ΠΈ являСтся основным логарифмичСским тоТдСством.

ОсновноС логарифмичСскоС тоТдСство Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· опрСдСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°:

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни n, ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ числа Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ число b.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ a^n=b ΠΏΡ€ΠΈ a > 0, a ne 1 Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ b ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ СдинствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ b. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ называСтся Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ числа b ΠΏΠΎ основанию Π° ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚:

ОсновноС логарифмичСскоС тоТдСство

4 log2 7 =2 2 log2 7 = (2 log2 7 ) 2 = 7 2 = 49

2 1 + log2 7 = 2 Β· 2 log2 7 = 2 Β· 7 = 14

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ³Π΄Π΅ a – это основаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°,

b – это Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° приравняСм Π΅Π³ΠΎ ΠΊ X. К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π² К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π² Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ основаниС (ΠΎΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ красным) возводится Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ – основаниС всСгда остаСтся Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ (ΠΈ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ, ΠΈ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ a Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ)!

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊ X ΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ, описанным Π²Ρ‹ΡˆΠ΅:К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится логарифмА Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ 8? ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽ вашС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основаниС (Π² нашСм случаС это – 2) всСгда находится Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ возводится Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Π”Π²Π° ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слСдствия опрСдСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

log a 1 = 0 ( a > 0, a β‰  1 )

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ числа a Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС число, Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ – Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Бвойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° (ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, смСна основания).

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ корня/Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Бвойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° (ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, смСна основания).

ИспользованиС свойств Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΠΎΡˆΠΈΠ±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств, свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², пСрСчислСнныС Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ.

НапримСр, Ссли ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ уравнСния ΠΈΠ»ΠΈ нСравСнства трСбуСтся ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

По Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

loga ( f (x) g (x)) ΠΈ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

слСдуСт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

И вновь Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊ аккуратности. Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

ЛСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнства ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях f(Ρ…), ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля. ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ – Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ f(x)>0! Вынося ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΠΌΡ‹ вновь суТаСм ΠžΠ”Π—. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡŽ области допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. ВсС эти замСчания относятся Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ стСпСни 2, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΊ любой Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ со ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

Для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ обозначСния. Π­Ρ‚ΠΎ связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ особСнно часто. К Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌ относятся дСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Для этих Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² справСдливы всС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².

Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

loga b – Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа b ΠΏΠΎ основанию a ( a > 0, a β‰  1, b > 0)

lg b – дСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ (Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 10, a = 10).

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ: К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ: К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исходныС выраТСния состояли ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π½Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ свойств Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Ρƒ нас ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основныС свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ!

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями! Если основания Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ нСльзя!

ВынСсСниС показатСля стСпСни ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

ВынСсСниС показатСля стСпСни ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°:

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠšΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ. А Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅? Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ свойством ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию.

Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств.

Π Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠš Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится логарифмДля Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ свойства вынСсСния показатСля стСпСни ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°:

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°: К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π² исходноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ДСсятичныС ΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

ДСсятичным Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ числа x называСтся Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 10. ДСсятичныС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ довольно часто, поэтому для Π½ΠΈΡ… Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: log10x = lg x. ВсС пСрСчислСнныС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для дСсятичных Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². НапримСр,

lg ( x y ) = lg x + lg y ( x > 0, y > 0 )

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ числа x (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ lnx) называСтся Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Ρ… ΠΏΠΎ основанию e. Число e – ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2,71. НапримСр, ln e = 1. ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (8), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ любой Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ свСсти ΠΊ дСсятичным ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌ:

log a b = lg b lg a = ln b ln a ( a > 0, a β‰  1, b > 0 )

ВычислСниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния

ΠΏΡ€ΠΈ условии a > 0, a β‰  1; b > 0, Π³Π΄Π΅

ΠΏΡ€ΠΈ условии a > 0, a β‰  1; b > 0, Π³Π΄Π΅

Найти Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ: log 4 8

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ log4 8 Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x :

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ:

Π‘Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ основС 2 ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ:

Найти x Ссли : log x 125 = 3 2

Π—Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

x = (5 3 ) 2/3 = 5 3Β·2/3 = 5 2 = 25

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° свойств

ПокаТСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ использования свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° произвСдСния: log5(2Β·3)=log52+log53 ΠΈ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ использования этого свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°: К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ.

Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ использования этого свойства: К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ.

ПокаТСм ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² примСнСния этого свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²: К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, которая ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Для подтвСрТдСния своих слов ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ с Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ вычисляСтся Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π²ΠΈΠ΄Π° К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ИмССм К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится логарифмдостаточно Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° a : К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ.

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ свойства сравнСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠžΠ”Π—) Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎΠ± ограничСниях (ΠžΠ”Π— – ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…).

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ нСльзя ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл; ΠΈΠ»ΠΈ Ссли Ρƒ нас Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ ограничСния Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρƒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²:

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ основания ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Π²Ρ‹Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π½ΠΈΠΌΠΈ.

Ну Π° ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ основаниС a Ρƒ нас Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Π±Ρ‹ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΡ‹ Π΅Π³ΠΎ Π½ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ, всСгда ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ число строго ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. НапримСр, Π½Π΅ сущСствуСт, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ стСпСни Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом (ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ, поэтому Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π΅ сущСствуСт).

Π’ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠžΠ”Π—. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Но Ссли сразу Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π° этих числа Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 0 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² Π·Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ эти ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅?

– это явно Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ основаниС Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ – «сторонний».

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… нСприятных ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΡ…ΠΎΠ², Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠžΠ”Π— Π΅Ρ‰Π΅ Π΄ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния:

10 ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

1. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ2. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ3. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ3. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния 4. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ5. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ5. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния 6. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Для этого приравняСм Π΅Π³ΠΎ ΠΊ Π₯:К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ7. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ7. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ нашС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ свойством вынСсСния показатСля стСпСни ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ8. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ8. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ свойством разности Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²: К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ9. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ9. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ свойство суммы Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² нСльзя. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ:К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния Π² исходноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

10. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ – это Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Π£ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию 4 ΠΏΠΎΠ΄Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ являСтся log216. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ сначала Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ log216, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ подставим ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π² log4: К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ К Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ – это Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Π£ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию 4 ΠΏΠΎΠ΄Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ являСтся log216. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ сначала Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ log216, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ подставим ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π² log4:

НадСюсь, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π»ΠΈΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *