Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Дан шестиугольник ABCDEF, в котором AB = BC, CD = DE, EF = FA, а углы A и C — прямые. Докажите, что прямые FD и BE перпендикулярны.

Решение

Лемма. Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных ребер равны.

Необходимость условия вытекает из теоремы Пифагора. Достаточность можно доказать различными способами:

Теперь для решения задачи достаточно применить доказанную лемму к четырехугольнику BDEF (см. рис. в). Действительно, по теореме Пифагора для треугольников BCD и ABF

Второй способ. Рассмотрим окружности с центрами D и F и радиусами DC и EF соответственно (см. рис. г). Тогда BA = BC — касательные к этим окружностям, а точка E принадлежит обеим окружностям, поэтому BE — их радикальная ось, и следовательно, она перпендикулярна линии центров FD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
НазваниеМосковская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер03 (2005 год)
Дата2005-04-3
класс
Класс8-9 класс
задача
Номер4

Источник

Урок геометрии по теме «Теорема Вариньона. Решение задач». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи:

Ход урока

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.

1. Теоретическая часть

Вариньон Пьер [1] (1654–1722)

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

Теорема Вариньона [2]

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

1) KLMN – параллелограмм;

Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.

Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Следствия из теоремы Вариньона

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказать: KLMN – ромб

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN

Доказать: KLMN – квадрат

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

2. Практическая часть. Решение задач.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).

У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

См. теорему Вариньона.

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи

1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказать: SABCD= KM*LN

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.

Что и требовалось доказать.

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Источник

Содержание:

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныуглы Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныявляются внешними.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныКак доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныКак доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныто параллелограмм Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныявляется ромбом.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказательство теоремы 1.

Дано: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныромб.

Докажите, что Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказательство (словестное): По определению ромба Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныравнобедренный. Медиана Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны(так как Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныТак как Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныявляется прямым углом, то Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Аналогичным образом можно доказать, что Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

Квадрат:

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

План доказательства теоремы 2

Дано: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныравнобедренная трапеция. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Докажите: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнытогда Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпроведем параллельную прямую к прямой Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнычерез точку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны— середину стороны Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпроведите прямую параллельную Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныКакая фигура получилась? Является ли Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнытрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныМожно ли утверждать, что Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказательство. Пусть дан треугольник Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныи его средняя линия Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныПроведём через точку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпрямую параллельную стороне Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныт.е. совпадает со средней линией Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныТ.е. средняя линия Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпараллельна стороне Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныТеперь проведём среднюю линию Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныТ.к. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныто четырёхугольник Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныПо теореме Фалеса Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныТогда Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказательство: Через точку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныи точку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнысередину Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнычерез Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнырадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныи Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныи точка Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныкоторая является серединой отрезка Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныто Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныа отсюда следует, что Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

2) По теореме Фалеса, если точка Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныявляется серединой отрезка Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныто на оси абсцисс точка Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныи Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

3) Координаты середины отрезка Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныс концами Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныи Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныточки Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнынаходятся так:

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныто, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны— прямоугольный.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнытакже являются Пифагоровыми тройками.

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны(рис. 1).

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD\ 2) Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Решение:

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказательство. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Теорема (признак параллелограмма).

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Теорема (признак параллелограмма).

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\\AD.

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. По свойству углов четырёхугольника, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Следовательно, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказать: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпо двум сторонами и углу между ними.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныи Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныПри помощи циркуля сравните длины отрезков Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказать: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказательство. Проведём через точки Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпрямые Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпараллельные ВС. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпо стороне и прилежащим к ней углам. У них Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпо условию, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныи Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныкак противоположные стороны параллелограммов Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныПроведём прямую Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Через точки Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныпроведём прямые, параллельные прямой Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказать: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Поэтому Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРКак доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Трапеция

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныкак вертикальные, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнывнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныравнобедренный. Поэтому Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнысоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныКак доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. По свойству внешнего угла треугольника, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныКак доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Из доказанного в первом случае следует, что Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныизмеряется половиной дуги AD, a Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны— половиной дуги DC. Поэтому Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказать: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Тогда Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Докажем, что Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. По свойству равнобокой трапеции, Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Тогда Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныи, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярныцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярнывписанного в окружность. Действительно,

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Следовательно, четырёхугольник Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Картинка про Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Фото Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны