Кривая безье что это

Кривые Безье

Кривые Безье используются в компьютерной графике для рисования плавных изгибов, в CSS-анимации и много где ещё.

Это очень простая вещь, которую стоит изучить один раз, а затем чувствовать себя комфортно в мире векторной графики и продвинутых анимаций.

Опорные точки

Кривая Безье задаётся опорными точками.

Их может быть две, три, четыре или больше. Например:

Если вы посмотрите внимательно на эти кривые, то «на глазок» заметите:

Точки не всегда на кривой. Это совершенно нормально, как именно строится кривая мы рассмотрим чуть позже.

Степень кривой равна числу точек минус один. Для двух точек – это линейная кривая (т.е. прямая), для трёх точек – квадратическая кривая (парабола), для четырёх – кубическая.

Кривая всегда находится внутри выпуклой оболочки, образованной опорными точками:

Благодаря последнему свойству в компьютерной графике можно оптимизировать проверку пересечения двух кривых. Если их выпуклые оболочки не пересекаются, то и кривые тоже не пересекутся. Таким образом, проверка пересечения выпуклых оболочек в первую очередь может дать быстрый ответ на вопрос о наличии пересечения. Проверить пересечение или выпуклые оболочки гораздо проще, потому что это прямоугольники, треугольники и т.д. (см. рисунок выше), гораздо более простые фигуры, чем кривая.

Основная ценность кривых Безье для рисования в том, что, двигая точки, кривую можно менять, причём кривая при этом меняется интуитивно понятным образом.

Попробуйте двигать точки мышью в примере ниже:

Как можно заметить, кривая натянута по касательным 1 → 2 и 3 → 4.

После небольшой практики становится понятно, как расположить точки, чтобы получить нужную форму. А, соединяя несколько кривых, можно получить практически что угодно.

Вот некоторые примеры:

Алгоритм «де Кастельжо»

Есть математическая формула для кривых Безье, но давайте рассмотрим её чуть позже, потому что Алгоритм де Кастельжо идентичен математическому определению кривой и наглядно показывает, как она строится.

Рассмотрим его на примере трёх точек (точки 1,2 и 3 можно двигать). Нажатие на кнопку «play» запустит демонстрацию.

Построение кривой Безье с 3 точками по «алгоритму де Кастельжо»:

Для каждого из этих значений t :

Например, при t=0 – точки будут в начале, при t=0.25 – на расстоянии в 25% от начала отрезка, при t=0.5 – 50% (на середине), при t=1 – в конце отрезков.

Был описан процесс для построения по трём точкам. Но то же самое происходит и с четырьмя точками.

Демо для четырёх точек (точки можно двигать):

Алгоритм для 4 точек:

Точки по порядку соединяются отрезками: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 4. Получается три коричневых отрезка.

Для t на отрезке от 0 до 1 :

Эти точки вместе описывают кривую.

Алгоритм является рекурсивным и может быть обобщён на любое количество контрольных точек.

Дано N контрольных точек:

Эти точки образуют кривую.

Запускайте и приостанавливайте примеры, чтобы ясно увидеть отрезки и то, как строится кривая.

Кривая, которая выглядит как y=1/t :

Зигзагообразные контрольные точки тоже работают нормально:

Создание петли возможно:

Негладкая кривая Безье (да, это тоже возможно):

Если в описании алгоритма есть что-то непонятное, посмотрите «живые» примеры выше, они наглядно показывают, как строится кривая.

Поскольку алгоритм является рекурсивным, мы можем построить кривые Безье любого порядка, используя 5, 6 или более контрольных точек. Но на практике много точек не так полезны. Обычно мы берём 2-3 точки, а для сложных линий склеиваем несколько кривых. Это проще для разработки и расчёта.

Для задания кривой Безье используются контрольные точки. Как видим, они не находятся на кривой, кроме первой и последней.

Иногда перед нами стоит другая задача: нарисовать кривую через несколько точек, чтобы все они были на одной гладкой кривой. Эта задача называется интерполяцией, и она за рамками нашего изложения.

Для таких кривых существуют математические формулы, например, полином Лагранжа. В компьютерной графике сплайн-интерполяция часто используется для построения плавных кривых, соединяющих множество точек.

Математика

Кривая Безье может быть описана с помощью математической формулы.

Как мы видели, на самом деле нет необходимости её знать, большинство людей просто рисуют кривую, перемещая точки с помощью мыши. Но если вы увлекаетесь математикой – вот она.

Формула для 2-х точечной кривой:

Для 3 контрольных точек:

Для 4 контрольных точек:

Вместо x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃ мы должны поместить координаты 3 контрольных точек, а затем при перемещении t от 0 до 1 для каждого значения t мы получим (x,y) кривой.

Итого

Кривые Безье задаются опорными точками.

Мы рассмотрели два определения кривых:

Их удобство в том, что:

Источник

Постигая кривые Безье

Кривые Безье — это способ определения кривой по опорным точкам.

Для наглядности можно рассматривать их как график передвижения точки от начала до конца маршрута в зависимости от времени движения.

Время изменяется от 0 до 1 (до 100%). То есть мы изначально знаем время, за которое нужно переместиться из начальной точки (P₀) в конечную (P_n) (конкретная величина не имеет значения). На основании этого времени можно вычислить точную траекторию — по формулам.

Берем все время за 100% (или за единицу). В момент 0 (0%) точка находится в точке P₀, в момент 1 (100%) – в точке P_n. Положение точки в любой момент между этими моментами можно вычислить по формуле.

Порядок кривой всегда на 1 меньше количества контрольных точек. Рассмотрим построение пошагово, начиная с самой простой кривой.

Кривая Безье первого порядка

Простейшая кривая Безье — это обычная линия. Порядок первый – значит, контрольных точек две. Ее академическое уравнение выглядит так:

Разберем на простейшем примере. Пусть:

Сразу же проверим формулу.

При t = 0 (в начальный момент времени) должна получиться точка P₀, а при t = 1 должна получиться точка P₁.

А теперь найдем несколько точек между началом и концом. Тут используется сложение и умножение векторов, но в данном случае все интуитивно понятно:

Все полученные точки лежат на одной прямой – это и есть кривая Безье первого порядка.

Время идет, точка движется от старта к финишу. И в любой момент времени мы точно знаем, где она находится.

Кривые Безье второго порядка и больше

В определении кривых Безье выше первого порядка кроме начала и конца появляются дополнительные опорные точки, смысл которых сложно понять с первого захода.

Непосредственно через них кривая не проходит, так зачем же они нужны?

На самом деле эти точки определяют направление движения (направление изгиба кривой) и крутизну этого изгиба.

Квадратичная кривая

Кривая Безье второго порядка, или квадратичная, задается тремя контрольными точками:

Маленький спойлер: кривая Безье второго порядка имеет форму параболы (не обязательно симметричной).

Формула у нее вот такая:

Проверим, что в начале и конце движения мы окажемся в точках P₀ и P₂ соответственно:

Найдем, где будет точка через половину времени t (0.5):

B(0.5) = 0.25*P₀ + 0.5*P₁ + 0.25*P₂ = (-0.25; 0) + (0; 1) + (0.25; 0) = (0; 1)

Если найти еще несколько точек, вырисуется ровная парабола. Так, в общем, и было задумано для простоты вычислений и визуальной ясности.

Рекурсивность кривых Безье

Волшебство кривых Безье заключается в том, что они рекурсивны. То есть умея строить кривую первого порядка, мы можем построить и квадратичную кривую, даже не зная ее формулы.

Вернемся к предыдущему примеру:

Предположим, что мы не знаем, как построить кривую второго порядка между P₀ и P₂. Но мы можем построить простейшую кривую первого порядка между P₀ и P₁, а также между P₁ и P₂, пользуясь формулой:

Для каждого момента времени мы можем найти положение точки на каждой из этих кривых.

Например, в момент времени 0.25 соответствующие точки Q₀ и Q₁ будут в таких позициях:

Между этими точками тоже можно построить кривую первого порядка.

Магия заключается в том, что точка на этой кривой в момент времени t = 0.25 соответствует точке на искомой кривой второго порядка в этот же момент времени.

Распишем чуть подробнее.

Этот рекурсивный алгоритм построения кривой Безье носит имя Поля де Кастельжо.

Кубическая кривая

Кривая Безье третьего порядка, или кубическая кривая, определяется уже четырьмя опорными точками – началом, концом и двумя вспомогательными, через которые она не будет непосредственно проходить.

Две вспомогательные точки снова определяют направление и крутизну изгибов кривой.

Формула кубической кривой еще сложнее:

Вы можете попробовать эту кривую рассчитать самостоятельно.

Обратите внимание, ее тоже можно получить рекурсивно!

Найти точку кривой третьего порядка в момент времени t можно по следующему алгоритму:

Зачем все это нужно?

Круто, теперь мы умеем строить кривые Безье любого порядка, но зачем нам это нужно? Каково практическое применение этих построений?

Кривые Безье используются в описаниях шрифтов TrueType, в SVG, GIMP и других графических форматах, в 3D-графике. Они используются даже в CSS для описания плавности анимации.

Источник

Кривые Безье. Немного о пересечениях и как можно проще

Вы сталкивались когда-нибудь с построением (непрерывного) пути обхода кривой на плоскости, заданной отрезками и кривыми Безье?

Вроде бы не сильно сложная задача: состыковать отрезки кривых в один путь и обойти его «не отрывая пера». Замкнутая кривая обходится в одном направлении, ответвления — в прямом и обратном, начало и конец в одном узле.

Всё было хорошо, пока из-под рук дизайнеров не стали вылезать монструозные пути, где отдельные кривые могли пересекаться или не точно состыковываться. Объяснение было предельно простым — визуально они все лежат как надо, а для станка, который этот путь будет обходить, такие отклонения незаметны.

Вооружившись знанием о величине максимально допустимого отклонения, я приступил к исследованию, результатами которого хочу поделиться.

Первое что я сделал — это разобрался как на сегодняшний день (октябрь 2020) обстоят дела с поиском точек пересечения кривых. То ли я не там искал, то ли не то спрашивал, но найти простого решения не получилось. Хотя, идея с результантом пары полиномов довольно занимательна. Много разных алгоритмов связанных с кривыми Безье собрано здесь.

Что не понравилось в известных способах и что точно не хочется делать, так это численно искать корни полиномов, или даже решать квадратичные уравнения. Очень не хочется исследовать кривые на экстремумы. Да и вообще, хотелось бы избежать деления, возведения в степень и всего того, что может привести к неопределённому поведению.

Если пытаться продолжить кривую, то не факт что она вообще пересечётся с другой кривой, хотя они находятся достаточно близко

Итак, с чем придётся работать.

Для Point определены операторы сложения, вычитания, умножения на скаляр, скалярного умножения.

Задана величина R допустимого отклонения точек.

Кривые заданы массивами опорных (контрольных) точек std::vector

Почти совпадающие кривые следует отмечать и, по возможности, удалять, например, если это забытый дубликат (копипаста — это зло).

Первое, что точно понадобиться, это простой способ вычисления значения параметрической кривой. (Простой в смысле реализации и читабельности):

Оставлять функцию в таком виде для постоянного использования не стоит — лучше спрятать её подальше, а пользоваться такой:

Здесь, curve — контейнер для опорных точек: для отрезка их две, для кривой Безье три или четыре или более.

Второе — точки надо как-то сравнивать, с учётом R :

Для поиска точек пересечения пары кривых я воспользовался идеей деления каждой кривой на две до тех пор пока есть пересечение области значений этих кривых. А чтобы не заморачиваться с экстремумами и интервалами монотонности, использовал тот факт, что кривая Безье ограничена выпуклым многоугольником, вершинами которого являются опорные точки кривой. Или даже ещё проще — достаточно ограничивающего эти точки прямоугольника:

Алгоритм поиска рекурсивный и достаточно простой

Эту функцию тоже лучше спрятать куда подальше, а для получения всех опорных точек воспользоваться этой:

Источник

Кривые Безье

Материал на этой странице устарел, поэтому скрыт из оглавления сайта.

Более новая информация по этой теме находится на странице https://learn.javascript.ru/bezier-curve.

Кривые Безье используются в компьютерной графике для рисования плавных изгибов, в CSS-анимации и много где ещё.

Несмотря на «умное» название – это очень простая штука.

В принципе, можно создавать анимацию и без знания кривых Безье, но стоит один раз изучить эту тему хотя бы для того, чтобы в дальнейшем с комфортом пользоваться этим замечательным инструментом. Тем более что в мире векторной графики и продвинутых анимаций без них никак.

Виды кривых Безье

Кривая Безье задаётся опорными точками.

Их может быть две, три, четыре или больше. Например:

Если вы посмотрите внимательно на эти кривые, то «на глазок» заметите:

Точки не всегда на кривой. Это совершенно нормально, как именно строится кривая мы рассмотрим чуть позже.

Степень кривой равна числу точек минус один. Для двух точек – это линейная кривая (т.е. прямая), для трёх точек – квадратическая кривая (парабола), для четырёх – кубическая.

Кривая всегда находится внутри выпуклой оболочки, образованной опорными точками:

Благодаря последнему свойству в компьютерной графике можно оптимизировать проверку пересечений двух кривых. Если их выпуклые оболочки не пересекаются, то и кривые тоже не пересекутся.

Основная ценность кривых Безье для рисования – в том, что, двигая точки, кривую можно менять, причём кривая при этом меняется интуитивно понятным образом.

Попробуйте двигать точки мышью в примере ниже:

Как можно заметить, кривая натянута по касательным 1 → 2 и 3 → 4.

После небольшой практики становится понятно, как расположить точки, чтобы получить нужную форму. А, соединяя несколько кривых, можно получить практически что угодно.

Вот некоторые примеры:

Математика

У кривых Безье есть математическая формула.

Как мы увидим далее, для пользования кривыми Безье знать её нет особенной необходимости, но для полноты картины – вот она.

Координаты кривой описываются в зависимости от параметра t⋲[0,1]

Эти уравнения векторные, то есть для каждой из координат:

Впрочем, это чересчур наукообразно, не очень понятно, почему кривые именно такие, и как зависят от опорных точек. С этим нам поможет разобраться другой, более наглядный алгоритм.

Рисование «де Кастельжо»

Метод де Кастельжо идентичен математическому определению кривой и наглядно показывает, как она строится.

Посмотрим его на примере трёх точек (точки можно двигать). Нажатие на кнопку «play» запустит демонстрацию.

Алгоритм построения кривой по «методу де Кастельжо»:

Для каждого из этих значений t :

На каждом из коричневых отрезков берётся точка, находящаяся от начала на расстоянии от 0 до t пропорционально длине. Так как коричневых отрезков – два, то и точек две штуки.

Например, при t=0 – точки будут в начале, при t=0.25 – на расстоянии в 25% от начала отрезка, при t=0.5 – 50%(на середине), при t=1 – в конце отрезков.

Это был процесс для построения по трём точкам. Но то же самое происходит и с четырьмя точками.

Демо для четырёх точек (точки можно двигать):

Нажмите на кнопку «play» в примере выше, чтобы увидеть это в действии.

Источник

Кривые Безье и Пикассо

Пабло Пикассо в своей студии на фоне картины «Кухня», фотография Херберта Листа.

Художник и простота

Одни из самых любимых мной работ Пабло Пикассо — это его линейные рисунки. Он изобразил на некоторых из них животных: сову, верблюда, бабочку и т.д. Эта работа под названием «Собака» висит на моей стене:

(Можете перейти к интерактивному демо, в которой мы воссоздали «Собаку» с помощью представленных в статье математических расчётов)

Эти рисунки чрезвычайно просты, но каким-то образом им удаётся глубоко тронуть зрителя. Они создают впечатление простоты композиции и реализации. Одно движение руки и подпись создают настоящий шедевр! Рисунок одновременно кажется и небрежной импровизацией, и точно подобранной увертюрой в симфонии изящества. На самом деле мы знаем, что процесс работы Пикассо был глубоким. Например, в 1945-1946 годах Пикассо создал серию из одиннадцати рисунков (литографий, если точнее), демонстрирующих его постепенный прогресс в визуализации быка. Первые были более-менее похожи на реалистичные, но в дальнейшем мы видим, как бык превращается в саму свою сущность, а последний рисунок состоит всего из десятка линий. В процессе развития серии рисунков мы видим быка, напоминающего некоторые из других работ Пикассо (номер 9 напоминает мне скульптуру в чикагском Daley Center Plaza). Здесь можно подробнее прочитать о серии литографий.

«Бык» Пикассо. Фотография сделана Джереми Куном в Институте искусств в Чикаго. Нажмите на изображение, чтобы увеличить его.

Я не буду притворяться опытным художником (я не смог бы нарисовать быка, даже если бы от этого зависела моя жизнь), зато я могу распознать математические аспекты его картин и написать чертовски хорошую программу. Есть один очевидный способ рассмотрения линейных рисунков в стиле Пикассо как математических объектов, и это конечно же кривые Безье. Давайте начнём с изучения теории кривых Безье, а потом напишем программу для их отрисовки. Используемая в ней математика не требует никаких дополнительных знаний, кроме основ алгебры и полиномов, и я постараюсь как можно меньше вдаваться в сложные подробности. Мы изучим очень простой алгоритм рисования кривых Безье, реализуем его на Javascript, а затем воссоздадим один из линейных рисунков Пикассо с помощью нескольких кривых Безье.

Кривые Безье и параметризация

Когда кто-нибудь просит вспомнить «кривые», большинство людей (возможно, отравленных преподаванием основ математики) или начинает трястись от страха, или рисует часть графика многочлена. Хотя это вполне правильные и уважаемые кривые, но они представляют лишь небольшую часть мира кривых. Особенно нас интересуют кривые, которые не являются частью графиков функций.

Например, лекало — это физический шаблон, используемый для (ручного) рисования плавных кривых. Просто соединяя рёбрами любую часть этих кривых, мы обычно не можем получить график функции. Очевидно, что нам нужна более общая идея о том, что же такое кривые. Проблема в том, что в разных областях математики под «кривой» подразумеваются различные понятия. Кривые, которые мы будем изучать, называемые «кривыми Безье» — это особый случай полиномиальных плоских кривых с одним параметром. Это звучит слишком сложно, но на самом деле это означает, что всю кривую можно задать двумя многочленами: одним для значений и вторым для значений . Оба многочлена имеют одну переменную, которую мы назовём ( определена на множестве вещественных чисел).

На примере всё должно стать понятнее. Давайте подберём два простых многочлена от , допустим, и . Если мы хотим найти точки на этой кривой, мы просто выбираем значения и подставляем их в оба уравнения. Например, подставив , мы получим точку на кривой. Располагая все такие значения на графике, мы получим кривую, которая точно не является графиком функции:

Но очевидно, что мы можем записать любую функцию с одной переменной в таком параметрическом виде: просто выберем и . Итак, они на самом деле являются более общими объектами, чем обычные функции (однако в этой статье мы будем работать только с многочленами).

Вкратце повторим: полиномиальная плоская кривая с одним параметром задаётся как пара многочленов от одной переменной . Иногда, когда нам нужно выразить всю систему одним уравнением, мы можем взять коэффициенты общих степеней и записать их как векторы и . Благодаря приведённому выше примеру мы можем переписать это как .

Здесь коэффициенты — это точки на плоскости (те же, что и векторы), и мы выделяем функцию жирным, чтобы подчеркнуть, что выходные данные являются точкой. Изучающие линейную алгебру могут понять, что пары многочленов формируют линейное пространство, и скомбинировать их как . Но для нас удобнее будет воспринимать точки как коэффициенты одного многочлена.

Мы также ограничим наше внимание рассмотрением однопараметрических плоских кривых, описываемых полиномом, для которых переменная допускается на интервале от нуля до единицы. Такое ограничение может показаться странным, но на самом деле так может быть записана любая конечная однопараметрическая плоская кривая, описываемая полиномом (мы не будем вдаваться в подробности того, как это реализуется). Ради краткости далее я буду называть однопараметрическую плоскую кривую, определяемую полиномом, у которой находится в интервале от нуля до единицы, просто «кривой».

С этими кривыми мы можем делать очень интересные вещи. Например для любых двух точек в плоскости мы можем описать прямую между ними как кривую: . И в самом деле, при значение точно равно , при точно равно , и уравнение является линейным полиномом при . Более того (если не вдаваться в подробности матанализа), линия проходит с «единичной скоростью» от до . Другими словами, мы можем воспринимать как описывающую движение частицы из по времени, и во время частица пройдёт путь на четверть, а во время пройдёт половину пути, и т.д. (Примером прямой, не имеющей единичную скорость, является, например .)

Для более общего случая давайте добавим третью точку . Мы можем описать путь, проходящий через в , и он «направляется» точкой , лежащей посередине. Эта идея «направляющей» точки немного абстрактна, но в отношении вычислений не более сложна. Вместо движения из одной точки в другую с постоянной скоростью, мы хотим двигаться из одной линии к другой с постоянной скоростью. То есть мы можем назвать две кривые, описывающие прямые из и кривыми и . Тогда кривая, «направляемая» точкой , может быть записана как кривая

Выполнив все эти умножения, мы получим формулу

С течением времени точка движется вдоль прямой между точками и , которые также движутся. Так мы получаем кривую, которая выглядит следующим образом

Этот скриншот взят из потрясающего демо консультанта по визуализации данных Джейсона Дейвиса. Он идеально демонстрирует математическую идею. В демо можно перетаскивать все три точки, чтобы посмотреть, как это влияет на конечную кривую. Стоит поиграть с ней хотя бы пять минут.

Вся идея кривых Безье заключается в обобщении этого принципа: имея список точек на плоскости, мы хотим описать кривую, которая проходит от первой до последней точки, и «направляется» между остальными точками. Кривая Безье является реализацией такой кривой (однопараметрической плоской кривой, определяемой полиномом), которая становится индуктивным продолжением описанного выше: мы движемся с единичной скоростью из кривой Безье, заданной первыми точками списка до кривой, заданной последними точками. В простейшем случае это отрезок прямой линии (или единственная точка, если угодно). С формальной точки зрения,

Определение: для заданного множества точек на плоскости мы рекурсивно определяем кривую Безье степени как

Мы назовём контрольными точками .

Хотя концепция перемещения с единичной скоростью между двумя кривыми Безье более низкого порядка является настоящей сутью дела (и позволяет нам подойти с к решению с вычислительной точки зрения), можно просто всё это перемножить (с помощью формулы биномиальных коэффициентов) и получить формулу в явном виде. Она будет следующей:

Например, кубическая кривая Безье с контрольными точками будет иметь уравнение

Кривые Безье более высокого порядка может быть достаточно сложно отобразить геометрически. Например, ниже показана кривая Безье пятой степени (с шестью контрольными точками).

Кривая Безье пятой степени, иллюстрация из Википедии.

Отрисованные дополнительные отрезки прямых демонстрируют рекурсивную природу кривой. Самые простые — зелёные точки, перемещающиеся между контрольными точками. Синие точки перемещаются по отрезкам прямых между зелёными точками, розовые перемещаются по отрезкам между синими, оранжевые — между розовыми, и, наконец, красная точка перемещается по отрезку прямой между оранжевыми точками.

Без рекурсивной структуры задачи (просто из наблюдения за кривой) было бы сложно понять, как можно всё это вычислить. Но как мы увидим, алгоритм отрисовки кривой Безье очень естественен.

Кривые Безье как данные и алгоритм де Кастельжо

Давайте выведем и реализуем алгоритм отрисовки кривой Безье на экране, воспользовавшись исключительно возможностью рисования прямых линий. Для простоты мы ограничимся рассмотрением только кривых Безье третьей степени (кубических). И в самом деле, любая кривая Безье по рекурсивному определению может быть записана как сочетание кубических кривых, и на практике кубические кривые обеспечивают баланс между эффективностью вычислений и выразительностью. Весь код в этом посте написан на Javascript и выложен на странице этого блога на Github.

Итак, кубическая кривая Безье представляется в программе списком из четырёх точек. Например,

В большинстве графических библиотек (в том числе в стандартной HTML5 canvas) существует графический примитив, способный выводить кривые Безье на основании списка из четырёх точек. Но предположим, что у нас нет такой функции. Предположим, что мы можем рисовать только прямые линии. Как же мы можем нарисовать аппроксимацию кривой Безье? Если такой алгоритм существует (а он есть, и мы убедимся в этом), то мы можем создать настолько точную аппроксимацию, что она будет визуально неотличима от истинной кривой Безье.

Важнейшее свойство кривых Безье, которое позволит нам создать такой алгоритм, заключается в следующем:

Любую кубическую кривую Безье от начала до конца можно разделить на две, которые вместе будут описывать ту же кривую, что и .

Давайте посмотрим, как же это сделать. Пусть будет кубической кривой Безье с контрольными точками , и допустим, что мы хотим разделить её ровно пополам. Мы заметим, что формула кривой при подстановке примет вид

Более того, наше рекурсивное определение даёт нам способ вычислить точку на основании кривых меньшей степени. Но когда вычисления выполняются при 1/2, их формулы достаточно просто записать. Изображение выглядит так:

Зелёные точки — это кривые первой степени, розовые точки — кривые второй степени, а синяя точка — это кубическая кривая. Мы заметим, что поскольку каждая из кривых вычисляется при , каждую из этих точек можно описать как среднюю точку уже известных нам точек. Поэтому , и т.д.

На самом деле, разделение на две нужные нам кривые точно задаётся этими точками. То есть половина кривой задаётся с контрольными точками , в то время как «правая» половина имеет контрольные точки .

Как мы можем быть уверены, что это точно те же кривые Безье? Ну, это просто полиномы. Мы можем проверить их на равенство с помощью запутанных алгебраических вычислений. Но стоит заметить, что поскольку проходит только полпути вдоль , то проверка их на равенство аналогична приравниванию с , поскольку изменяется в интервале от нуля до единицы, изменяется в интервале от нуля до половины. Аналогично, мы можем сравнить с .

Алгебраические вычисления очень запутаны, но вполне посильны. В доказательство привожу скринкаст того, как я выполняю вычисления, доказывающие идентичность двух кривых.

Теперь, когда мы всё проверили, у нас есть хороший алгоритм для разделения кубической кривой Безье (или любой кривой Безье) на две части. На Javascript он будет выглядеть так:

Здесь curve — это список из четырёх точек, как описано в начале этого раздела, а выходными данными является список двух кривых с правильными контрольными точками. Используемая функция midpoints достаточно проста, и для полноты мы тоже добавим её сюда:

Она просто получает на входе список точек и вычисляет их последовательные средние точки. То есть список из точек превращается в список из точек. Как мы видели, нам нужно вызывать эту функцию для вычисления сегментации кривой Безье степени .

Как я объяснил ранее, мы можем продолжать подразделять нашу кривую снова и снова, пока каждая из небольших частей не станет практически прямой. То есть наша функция для отрисовки кривой Безье будет следующей:

Разумеется, это ставит перед нами очевидный вопрос: как мы можем определить, что кривая Безье плоская? Для этого есть множество способов. Можно вычислять углы отклонения (от прямой) в каждой внутренней контрольной точке и складывать их. Или можно вычислить объём образуемого четырёхугольника. Однако вычисление углов и объёмов обычно не так удобно: на расчёты углов тратится много времени, объёмы имеют проблемы со стабильностью, а стабильные алгоритмы не очень просты. Нам нужно измерение, для которого достаточно простой арифметики и, возможно, проверки нескольких логических условий.

Оказывается, что такое измерение существует. Его изначально приписывают Роджеру Уилкоксу, но оно достаточно просто выводится вручную.

В сущности, мы хотим измерить «плоскостность» кубической кривой Безье вычислением расстояния от настоящей кривой во время до того места, где кривая должна бы быть во время , если она является прямой.

Формально, имея заданную с контрольными точками , мы можем определить прямолинейную кубическую кривую Безье как колоссальную сумму

Здесь не происходит ничего волшебного. Мы просто задаём кривую Безье с контрольными точками . Нужно воспринимать их как точки, которые находятся на 0, 1/3, 2/3 и 1 доли пути от до на прямой линии.

Теперь мы зададим функцию , которая будет расстоянием между двумя кривыми в одно и то же время . Значение плоскостности — это максимум функции по всем значениям . Если значение плоскостности ниже определённого уровня допуска, то мы будем считать кривую плоской.

Добавив немного алгебры, мы можем упростить это выражение. Во-первых, значение , для которого расстояние максимально, аналогично тому, у которого максимален квадрат, поэтому мы можем избежать вычисления квадратного корня в конце и учитывать это при выборе допуска плоскостности.

Теперь давайте запишем разность как один полином. Во-первых, мы можем избавиться от троек в и записать полином как

и поэтому равно (при сложении коэффициентов подобных членов

Вынеся за скобки из обоих членов и обозначив , , получим

Поскольку максимумом произведения является произведение максимумов, мы можем ограничить вышеприведённую величину произведением двум максимумов. Причина этого в том, что мы сможем просто вычислить два максимума по отдельности. Вычислить максимум несложно и без разделения, но при таком способе нам потребуется меньше этапов вычислений в готовом алгоритме, а визуальный результат будет таким же хорошим.

Применив элементарные вычисления с единственной переменной, получим, что максимальное значение для оказывается равным . А норма вектора — это просто сумма квадратов его компонентов. Если и , то представленная выше норма равна

И заметьте: для любых вещественных чисел величина в точности является прямой линией из в , которая нам хорошо знакома. Максимум для всех от нуля до единицы очевидно будет равен максимуму конечных точек . Так что максимум нашей функции расстояния ограничен

И поэтому наше условие плоскостности заключается в том, чтобы это ограничение было меньше некоторого допуска. Мы можем безопасно разложить 1/16 на множители в это ограничение допуска, и этого будет достаточно для того, чтобы записать функцию.

Вот и она. Мы написали простую HTML-страницу, чтобы получить доступ к элементу canvas и несколько вспомогательных функций для отрисовки отрезков прямой, когда кривая достаточно плоская, и представили конечный результат в этом интерактивном демо (контрольные точки можно двигать).

Изображение, которое вы видиет на этой странице (ниже) — это моя визуализация «Собаки» Пикассо, нарисованная как последовательность кривых Безье. Думаю, что сходство вполне убедительное.

«Собака» Пикассо, собранная из последовательности девяти кривых Безье.

Хотя сам рисунок изобрели не мы (и потому не можем поставить под ним свою подпись), мы смогли представить его как последовательность кривых Безье. Можно только назвать их художественной работой. Здесь мы свели представление к одному файлу: первая строка — это размер холста, а каждая последующая строка представляет кубическую кривую Безье. Комментарии добавлены для лучшей читаемости.

«Собака», Джереми Кун, 2013 год.

Стандартизация кажется мне важной, поэтому мы определим новый тип файла «.bezier», который будет иметь показанный выше формат:

Здесь первые два целых числа определяют размер холста, первое (необязательное) целое число в каждой строке задаёт ширину линии, а curve имеет вид

Если int в начале строки отсутствует, то линии задаётся ширина в три пикселя.

Мы не так сильно углублялись в теорию кривых Безье, как могли бы. Если вы хотите изучить тему глубже (и с использованием матанализа), то см. этот длинный вводный курс. В нём содержится практически всё, что нужно знать о кривых Безье, а также представлены написанные на Processing интерактивные демо.

Искусство низкой сложности

У того, что мы сделали с «Собакой» Пикассо, есть некое философское значение. Ранее в этом блоге мы исследовали идею искусства низкой сложности, и здесь она полностью применима. Основная мысль заключается в том, что «красивое» искусство имеет описание малой длины; если более формально, то «сложность» объекта (представленного в тексте) — это длина самой короткой программы, дающей на выходе этот объект при отсутствии входных данных. Подробнее об этом можно прочитать в нашем введении в колмогоровскую сложность. Тот факт, что мы можем описать линейные рисунки Пикассо малым числом кривых Безье (и относительно короткой программой, дающей на выходе кривые Безье), должен быть глубоким заявлением о красоте самого искусства. Очевидно, что такой взгляд очень субъективен, но у него есть свои сторонники.

Сегодня существует интерес к генерируемому компьютером искусству. Например, в этих недавних соревнованиях по программированию (статья на нидерландском) участникам дали задание сгенерировать рисунок, напоминающий работу Пита Мондриана. Идея заключалась в том, что чем элегантнее алгоритм, тем выше будет его оценка. Для генерации работ Мондриана победитель использовал хэши MD5, и есть ещё множество других впечатляющих примеров (по ссылке выше представлена галерея готовых работ).

В предыдущем посте об искусстве низкой сложности мы исследовали возможность представления всех изображений в системе координат, в которой используются окружности с закрашенным внутренним пространством. Но очевидно, что в такой системе координат нельзя представить «Собаку» с очень низкой сложностью. Похоже, что кривые Безье — это гораздо более естественные системы координат. Небольшие усовершенствования, включающие в себя длину линий и небольшие искажения, не влияют на конечную сложность. Кубическую кривую Безье можно описать любым множество из четырёх точек, а для более «запутанных» описаний (с повышенной сложностью) требуется большее количество точек. Кривые Безье можно произвольно масштабировать, и это не изменит значительно сложность кривой (несмотря на то, что масштабирование на многие порядки величины добавит увеличение сложности с логарифмическим множителем, оно довольно мало). Кривые с большой шириной линий немного сложнее, чем с малой шириной, а для представления множества мелких острых изгибов требуется больше кривых, чем для длинных и плавных дуг.

Недостатком является сложность представления в виде кривой Безье окружности. На самом деле, точно это сделать невозможно. Несмотря на простоту этого объекта (он даже задаётся как единственный многочлен, хотя и с двумя переменными), лучшее, что можно с ним сделать — аппроксимировать его. То же относится и к эллипсам. На самом деле есть способы обхода этой проблемы (концепция рациональных кривых Безье, которые являются частными многочленов), но они добавляют в алгоритм отрисовки неотъемлемую сложность, а аппроксимации с использованием обычных кривых Безье выглядят достаточно хорошо.

Настоящей наградой, которую мы ещё исследуем, будет нахождение способа автоматической генерации искусства. То есть реализации одной из двух возможностей:

Источник